מבוא

בעולם המודרני ידע מתמטי מהווה בסיס חיוני לתחומי עיסוק ולמקצועות רבים. מהנדסים, בכל התחומים, זקוקים לידע מתמטי, כמו גם כלכלנים, מדענים, ועוד. אולם ידע מתמטי חיוני גם בתחומי חיים אחרים: הוא מאפשר לבעלי ידע להבין ממה מורכב תלוש המשכורת שלהם וכמה מס הם משלמים, הוא מאפשר להבין תקציבים ציבוריים – למשל, תקציב המדינה – ולהבין כיצד ולמי הם מחולקים, הוא מאפשר להבין נתונים סטטיסטיים – למשל, סטטיסטיקה של תאונות דרכים, והיבטים רבים נוספים של המציאות היום־יומית.

לכן, חשוב ללמוד מתמטיקה וחשוב לסייע לתלמידים לרכוש אוריינות מתמטית. זהו הנושא בו עוסקת עבודה זו: חינוך מתמטי. הבחירה במונח "חינוך מתמטי", לעומת, למשל, "לימוד מתמטיקה", מרמזת על הכיוון אליו מצביעה העבודה: לא רק הידע חשוב, אלא גם הדרך בה הוא נרכש, וצורות השימוש בו – ידע מתמטי אינו בהכרח ניטרלי, וגם לאופן הלימוד עצמו יש השלכות פדגוגיות מהותיות.

העבודה סוקרת גישות שונות לחינוך מתמטי. הגישות הנסקרות כוללות את הגישה החינוכית הקונבנציונלית לחינוך מתמטי, ושתי גישות נוספות, רדיקליות: חינוך מתמטי ביקורתי ו־אתנומתמטיקה. בעבודה אני אתאר את המאפיינים של כל אחת מהגישות, ואשווה ביניהן מנקודת מבט של גישת הפדגוגיה הביקורתית. הפרק האחרון בעבודה זו מתווה, בקווים כלליים, דרכי עבודה לחינוך מתמטי המושתתות על עקרונות החינוך המתמטי הביקורתי.

החינוך המתמטי הקונבנציונלי

במושג "חינוך מתמטי קונבנציונלי" אשתמש כדי להתייחס לחינוך המתמטי המקובל והנפוץ במערכת החינוך הממוסדת. כאשר בוחנים שיטת הוראה מסוימת יש להתייחס למספר רב של מאפיינים: הידע הנלמד – למי הוא רלוונטי, את מי הוא משרת, מה הוא מלמד ומה הוא מסתיר (על ידי סימונו כלא־רלוונטי), צורת ההוראה – חינוך בנקאי או דיאלוגי, יחסי כוח בכיתה, סוציאליזציה הגמונית או חינוך ביקורתי, ועוד.

למפרט (2008) טוען כי החינוך במערכת החינוך הציבורית בישראל משמש מנגנון לשעתוק של יחסי הכוח הקיימים בחברה (בדומה לטענות כלליות כלפי מערכות חינוך מודרניות; ראה למשל Giroux 1990). החינוך המתמטי, כחלק ממערכת זו, אינו חורג מן הכלל, ומסייע למנגנון הכללי לשעתק ולשמר את יחסי הכוח בחברה, וזאת במספר אופנים.

דרך אחת היא באמצעות תכנית הלימודים עצמה, והמסרים – הגלויים והסמויים – המועברים באמצעותה. אחת הדרכים להעברתם של מסרים סמויים היא הדוגמאות בהן משתמשים כדי להמחיש בעיות מתמטיות. זלמנסון לוי ומרגלית (2009) חקרו את החינוך המתמטי בבתי ספר בישראל ומציגות דוגמאות שונות לשימוש בדוגמאות מתמטיות הכוללות מסרים מיליטריסטיים וצרכניים־קפיטליסטיים, ולקוחות מתוך חוברות לימוד במתמטיקה הנפוצות במערכת החינוך הישראלית.

בעוד שבמקצועות לימוד אחרים מסרים תופסים חלק מרכזי (להבדיל משימושם בלימוד מתמטיקה כאמצעי המחשה) ולכן גם דנים בהם, בשיעורי המתמטיקה לא מתקיימים דיונים סביב משמעויותיהם של המסרים, ולא מפעילים כלפיהם שיפוטיות (שם). דבר זה מסייע למסרים להיתפס כמקובלים, כחלק מהקונצנזוס הקיים, ועל ידי כך לתרום לחיזוק כוחן של האליטות השולטות ולחנך את התלמידים להיות אזרחים צייתנים וממושמעים, כדי שיוכלו, בתורם, להיות חיילים בשרות המדינה או צרכנים בשרות בעלי ההון והתאגידים.

אולם, כפי שאומרות זלמנסון לוי ומרגלית "מה שאינו מופיע. העדר דוגמאות ושימושים של כלים מתמטיים בתחומי מדעי החברה, בתחומים של תקציב, שכר, אבטלה, מהגרי עבודה, ולחינוך הוא מסר סמוי בפני עצמו. העדרן של קבוצות רבות הנמצאות בשולי החברה הישראלית, כגון, ערבים, אנשים עם צרכים מיוחדים ועוד, הוא בעל עוצמה חזקה לא פחות מהתיחסות כזו או אחרת אליהם." (שם)

אי־הכללתן של קבוצות שונות בשיח הכללי, גורם להדרתן מהתודעה ומחזק את תפיסתן כשוליות. העדרן של דוגמאות מתמטיות העוסקות במדדים המרכזיים של החברה והכלכלה מחנך לקבלה של המציאות כמות שהיא, למתן אוטומטי של אמון במערכות השלטוניות ולחוסר ביקורתיות.

מתמטיקה כמקצוע ממיין. דרך נוספת בה משמש החינוך המתמטי כגורם משמר הוא היותו מקצוע ממיין. ציוני בחינות בגרות גבוהים במתמטיקה מהווים, במקרים רבים, תנאי קבלה ללימודים גבוהים. שיטת ההקבצות הנהוגה בארץ מתייגת כבר מגיל צעיר את התלמידים וקובעת (מסלילה) את מקומם החברתי. כפי שמראות זלמנסון לוי ומרגלית (2009) ישנם הבדלים גדולים בין אחוז התלמידים היהודים העוברים את בחינת הבגרות במתמטיקה לבין אחוז הלא־יהודים (כלומר ערבים) העוברים אותה. בכך משמש החינוך המתמטי גורם ממיין המדיר קבוצות מיעוט ומשמר את כוחו הכלכלי והפוליטי של הרוב השולט.

אתנומתמטיקה

אתנומתמטיקה הוא תחום מחקר אשר החל להתפתח בשנות ה־80 של המאה ה־20 על ידי ד'אמברוסיו (D'Ambrosio, 1997), שהוא, כמו פאולו פריירה, יליד ברזיל, ועוסק בתאוריות ובתפיסות המתמטיות של קבוצות אתניות שונות. (אם כי, כפי שאסביר בהמשך, במובן רחב יותר של המושג "אתני".)

המושג אתנומתמטיקה מורכב משילוב של שני מושגים: "אתנו", ו־"מתמטיקה". ד'אמברוסיו הגדיר אתנומתמטיקה באופן הבא:[2]

[...] במושג אתנומתמטיקה נכנה את המתמטיקה הנמצאת בשימושן של קבוצות תרבותיות מובחנות, כגון חברות לאומיות־שבטיות, קבוצות עובדים, ילדים בתחום גילאים מסוים, מעמדות מקצועיים וכיוצא בזה. (D'Ambrosio, 1997 p. 16)

כלומר, ד'אמברוסיו משתמש במושג "אתני" בצורה רחבה, ומכליל את השימוש בו לא רק לקבוצות אתניות (במובנה המקורי של המילה) אלא, למעשה, לכל קבוצה בעלת זהות ומאפיינים מוגדרים. כך ניתן לדבר על האתנומתמטיקה של קבוצה אתנית "אמתית" (למשל, הפרקטיקה המתמטית של שבט אפריקאי מסוים), אך גם על האתנומתמטיקה של קבוצה המוגדרת באמצעות משלח יד (למשל, בנאים או נגרים) או, לחלופין, באמצעות גיל (למשל, תלמידי בית ספר בכיתות ג' עד ד').

המתמטיקה ה"רגילה", זו שאינה "אתנית", היא המתמטיקה האקדמית המערבית, הנלמדת בבתי ספר ובאוניברסיטאות, אשר, בדרך כלל, בתפיסה המערבית המקובלת, נחשבת למתמטיקה היחידה הראויה להיקרא מתמטיקה.

בהיסטוריה המערבית הידע המתמטי הנכלל באתנומתמטיקה לא נחשב לתחום ידע. לכל היותר, הוא נחשב למושא עניין לאנתרופולוגים. השקפה זו גרמה, בהכרח, לכך שקבוצות שלמות – למשל, שבטים באפריקה, או תרבויות קדומות כמו המאיה והאינקה – נחשבו למחוסרי יכולת מתמטית, לחסרי יכולת חשיבה מופשטת, או, במילה אחת, "פרימיטיביים".

ההנחה בדבר הפרימיטיביות של עמים וחברות חסרי ידיעת קרוא וכתוב הופרכה, למשל, על ידי Acher and Ascher אשר הראו כי גם לקבוצות כאלו יש רעיונות מתמטיים מתוחכמים, שאינם נופלים במורכבותם מאלו של המתמטיקה המערבית (Ascher and Ascher, 1997). מעניין להזכיר כי למאמרם המקורי אשר נכתב בתחילת שנות ה־80 של המאה העשרים לא נמצא כתב עת שהסכים לפרסמו במשך מספר שנים, דבר המעיד עד כמה עמוק הייתה תפיסת הפרימיטיביות מושרשת בחברה המערבית, ועד כמה קשה לערער על האידאולוגיות ההגמוניות.

תפיסה זו שרתה יפה את הקולוניאליזם המערבי, שראה בתושבים הילידים בארצות שכבש בני אדם נחותים, ומצא בזאת צידוק לזכותו לכבוש ארצות שלמות, לשלוט ולרדות בתושביהן, ולחמוס ולנצל את משאבי הטבע שלהם.

האתנומתמטיקה מחזירה לתרבויות אלו את "כבודם האבוד", אך בנוסף, יש לה גם צדדים מעשיים רבים. הכרה בשוני בין תרבויות שונות, כמו גם בהבדלים בצורת החשיבה המתמטית, מאפשרת לבנות תכניות לימודים יעילות יותר, המותאמות לאוכלוסיית התלמידים ולתרבותם, ועל ידי כך לשפר את סיכויי הצלחתם. הכרה בערכו של גוף הידע המתמטי שיש לקבוצות שונות תתרום גם לשיפור הדימוי העצמי שלהן, ותסייע בהעצמת התלמידים (כך שה"כבוד האבוד" שהזכרתי איננו, בעצם, שולי או זניח). קל לראות כי דברים אלו נכונים כאשר חושבים על בניית תכניות לימודים לתושבי ארצות העולם השלישי, אך לאתנומתמטיקה השלכות חשובות גם לגבי חינוך מתמטי של תלמידים השייכים לקבוצות מיעוט במדינות בעולם המערבי.

חינוך מתמטי ביקורתי

החינוך המתמטי הביקורתי (המכונה לעתים גם "חינוך מתמטי לצדק חברתי") מתבסס על עקרונות הפדגוגיה הביקורתית של פאולו פריירה (פריירה 1981), ומחיל את עקרונות הפדגוגיה הביקורתית על תחום לימודי המתמטיקה. החינוך המתמטי הביקורתי הוא המשך ישיר של הפדגוגיה הביקורתית של פריירה ויישומה לתחום החינוך המתמטי. אחת מהנחות היסוד החשובות של החינוך המתמטי הביקורתי היא כי ידע בסיסי של מתמטיקה וסטטיסטיקה חיוני להבנה של יחסי הכוח בחברה, ועל ידי כך ליצירה של מנגנוני בקרה החיוניים ליצירה של שליטה דמוקרטית במבנים הכלכליים, הפוליטיים והחברתיים (Frankenstein, 1987). מטרתו של החינוך המתמטי הביקורתי הוא לגרום לכך שתלמידים ירכשו הן את הידע והן את הכלים שיאפשרו להם להבין ולבקר טוב יותר את המציאות הסובבת אותם.

החינוך החינוך המתמטי הביקורתי מציע ללמוד מתמטיקה תוך כדי שימוש בה לקריאה ביקורתית של המציאות, ועל ידי כך מושגות מספר מטרות. ראשית, התלמידים לומדים להעריך את חשיבותה של המתמטיקה ואת מידת הרלוונטיות שלה למציאות הסובבת אותם. שנית, באמצעות ניתוח המציאות בכלים מתמטיים התלמידים (כמו גם המורים, הורי התלמידים ואולי אף חברים אחרים בקהילה) רוכשים הבנה של יחסי הכוח הפועלים בחברה. קריאת מציאות ביקורתית והבנה של יחסי הכוח הם שלב ראשון והכרחי בדרך לשחרור ולשינוי חברתי (פריירה, 1981).

אתנומתמטיקה מול חינוך מתמטי ביקורתי

לשתי הגישות – אתנומתמטיקה והחינוך המתמטי הביקורתי – יש מן המשותף מעבר לביקורת שלהן כלפי תפיסת החינוך המתמטי המקובלת. למשל, בדומה להתייחסות של החינוך הביקורתי לעולמו של התלמיד, אתנומתמטיקה מייחסת מקום של כבוד לתרבות ולגוף הידע המתמטי של התלמיד.

עם זאת, ישנם הבדלים בין שתי הגישות שחשוב להכירם. אתנומתמטיקה בעיקר מערערת על האירופוצנטריות, בעוד החינוך המתמטי הביקורתי מבוסס על גישה פילוסופית־פוליטית רחבה. Vithal and Skovsmose טוענים כי ניתן לראות בהתפתחות האתנומתמטיקה תגובה, מעין "תגובת נגד", לאימפריאליזם התרבותי של מדינות המערב (Vithal and Skovsmose, 1997). אחת הבעיות המרכזיות באתנומתמטיקה, לדבריהם, הוא שלמרות הפן התרבותי החיובי, האתנומתמטיקה אינה מתאימה לחברה טכנולוגית ומתועשת, ואינה מפעילה מספיק ביקורתיות כלפי מבני הכוח החברתיים והכלכליים, כפי שעושה גישת החינוך המתמטי הביקורתי.

למרות ביקורת זו, אני סבור שרצוי לשלב בין שתי הגישות. הגישה הביקורתית הכרחית כדי לגרום לשינוי משחרר, ובמסגרת הביקורת לאתנומתמטיקה יש תפקיד חשוב ופוטנציאל רב לתרום להעצמה של תלמידים וקהילות.

חינוך מתמטי ביקורתי בכיתה

חינוך מתמטי ביקורתי הוא קודם כל חינוך ביקורתי – כלומר, חינוך הנשען על עקרונות הפדגוגיה הביקורתית – וצריך לכלול את מרכיבי החינוך של הפדגוגיה הביקורתית. אחד העקרונות הראשוניים הוא מידת הרלוונטיות של החומר הנלמד לעולמם של התלמידים. בקביעת הרלוונטיות בחינוך מתמטי קיימים שני מרכיבים שיש לקחתם בחשבון – בחירת הנושאים המתמטיים עצמם, ואמצעי ההמחשה (למשל, נושאי הבעיות המילוליות) בהם משתמשים. מידת הרלוונטיות של הנושאים המתמטיים אינה מובנת מאליה מראש, ותפקידו של המורה הוא להראות כיצד המתמטיקה אכן רלוונטית, או שימושית, לעולמם של התלמידים. אחת הדרכים להשיג זאת היא להראות כיצד ניתן, באמצעות המתמטיקה, לרכוש קריאת מציאות ביקורתית של עולם המציאות. גוטשטיין, למשל, מתאר כיצד השתמש בדוגמאות מציאותיות כדי להציב בעיות מתמטיות בפני תלמידיו (Gutstein 2006, p. 3), ובכך להשיג לקח כפול: גם ללמד מתמטיקה, וגם להכיר לתלמידיו היבטים חשובים של המציאות בה הם חיים. שני מרכיבים אלו מחזקים האחד את השני: תרומתם של הכלים המתמטיים לקריאת המציאות מסייעת לתלמידים לפתח גישה ביקורתית , ומצד שני, היכולת ה"חדשה" משכנעת את התלמידים בנחיצותם של הכלים המתמטיים ומגבירה את המוטיבציה שלהם ללמוד. קשר זה מחולל תהליך של העצמה – התלמידים רוכשים הבנה פוליטית של המציאות ולומדים למקם את עצמם ביחס אליה.

לא תמיד המורים מכירים מספיק טוב את הקהילות בהן הם מלמדים כדי לדעת אילו נושאים לבחור. פרנקנשטיין עומדת על נקודה זו (Frankenstein 1987) ומציעה כי המורים ישאלו את התלמידים אילו נושאים מעניינים אותם, ומתוך כך תתחיל להיבנות תכנית הלימודים. תהליך זה יוצר דיאלוג פרייריאני בכיתה, ולמעשה הופך את התלמידים והמורים ל"חוקרים משותפים".

כדי שתכנית הלימודים תהיה יעילה יש לתת את הדעת גם על האמצעים הפדגוגיים. המחשות באמצעות משחקים, הצגות וכיוצא בזה, יגבירו את מידת ההתעניינות של התלמידים בחומר הנלמד ויסייעו לשפר את יכולותיהם המתמטיות.

פרנקנשטיין סבורה כי רוב המתמטיקה הבסיסית והמיומנויות הסטטיסטיות ניתנות ללימוד באופן זה (שם, עמ' 196). עם זאת, ייתכן שלצורכי לימוד מסוימים יהיה צורך ליצור דוגמאות מלאכותיות. כאשר מפתחים בעיות מתמטיות מילוליות – בין אם הן מלאכותיות ובין אם הן מתבססות על מציאות – יש לשים לב להיבט האתי של הבעיה (de Freitas 2008), ולבדוק בזהירות את נוסחן מנקודת מבט ביקורתית. יש להיזהר מלפשט ניסוחים יתר על המידה ולא להציג תמונת מציאות פשטנית.

הקווים שהתוויתי בפרק זה הם אמנם כלליים, אך יכולים להוות בסיס לפיתוח תכניות לימודים לחינוך מתמטי ביקורתי.

סיכום

בעבודה זו תיארתי את החינוך המתמטי הנהוג מנקודת מבטה של הפדגוגיה הביקורתית ועמדתי על ליקויו על רקע השאיפה לשינוי חברתי, והראיתי כיצד הוא משמש במכשיר לשימור ושעתוק יחסי הכוח והמבנים החברתיים, הכלכליים והפוליטיים הקיימים בחברה. בנוסף תיארתי שתי גישות רדיקליות לחינוך מתמטי: אתנומתמטיקה וחינוך מתמטי ביקורתי. השוויתי בין הגישות והסברתי מדוע כדאי לשלב ביניהן בחינוך המתמטי.

לבסוף, הצגתי מודל אפשרי לחינוך מתמטי ביקורתי. הראיתי כיצד ניתן ללמד מתמטיקה על בסיס הפדגוגיה הביקורתית וכיצד חינוך מתמטי ביקורתי יכול לשמש ככלי וכבסיס לשינוי חברתי משחרר.

מקורות

זלמנסון לוי, ג. ומרגלית, ת. (2009). "חינוך לצדק חברתי וחינוך לשלום בשעורי מתמטיקה". נמסר לפרסום.

למפרט, ח. (2008). חינוך אמפתי כביקורת הניאו־קפיטליזם. תל אביב: רסלינג.

פריירה, פ. (1981). פדגוגיה של מדוכאים. ירושלים: מפרש.